Lipschitz Functions of Perturbed Operators

We prove that if f is a Lipschitz function on R, A and B are self-adjoint operators such that rank(A − B) = 1, then f(A) − f(B) belongs to the weak space S1,∞, i.e., sj(A − B) ≤ const(1 + j). We deduce from this result that if A − B belongs to the trace class S1 and f is Lipschitz, then f(A) − f(B) ∈ SΩ, i.e., Pn j=0 sj(f(A) − f(B)) ≤ const log(2 + n). We also obtain more general results about the behavior of double operator integrals of the form Q = RR (f(x) − f(y))(x − y)dE1(x)TdE2(y), where E1 and E2 are spectral measures. We show that if T ∈ S1, then Q ∈ SΩ and if rankT = 1, then Q ∈ S1,∞. Finally, if T belongs to the Matsaev ideal Sω, then Q is a compact operator. Résumé. Fonctions lipschitziennes d’opérateurs perturbés. Nous démontrons que si f est une fonction lipschitzienne, A et B des opérateurs autoadjoints tels que rank(A − B) = 1, alors f(A) − f(B) ∈ S1,∞, c’est-à-dire sj(A − B) ≤ const(1 + j). Si A−B est dans la classe S1 des opérateurs à trace, nous montrons que f(A)− f(B) ∈ SΩ, c’est-à-dire Pn j=0 sj(f(A) − f(B)) ≤ const log(2 + n). Plus généralement, pour une fonction lipschitzienne f et pour des mesures spectrales E1 et E2, considérons l’intégrale double opératorielle Q = RR (f(x) − f(y))(x − y)dE1(x)TdE2(y). Nous montrons que si T ∈ S1, alors Q ∈ SΩ et si rankT = 1, alors Q ∈ S1,∞. Finalement, si T appartient à l’idéal de Matsaev Sω , alors Q est un opérateur compact. Version française abrégée Dans cette note nous considérons les propriétés de f(A)− f(B), où f est une fonction lipschitzienne sur la droite réelle R, A et B sont des opérateurs autoadjoints (pas nécessairement bornés) dont la différence A − B est “petite”. Il est bien connu que si A − B appartient à l’espace S1 des opérateurs nucléaires, l’opérateur f(A)− f(B) n’appartient pas nécessairement à S1. Nous démontrons que si A−B ∈ S1 et f est une fonction lipschitzienne, alors f(A)−f(B) appartient à l’idéal SΩ défini comme l’ensemble d’opérateurs T dont les nombres singuliers sj(T ) satisfont à l’inégalité n ∑ j=0 sj(T ) ≤ const log(2 + n), n ≥ 0. Pour démontrer ce résultat nous utilisons la formule de Birman et Solomyak f(A)− f(B) = ∫∫ f(x)− f(y) x− y dEA(x)(A −B) dEB(y), où EA et EB sont les mesures spectrales des opérateurs A et B (la théorie des intégrales doubles opératorielles est développée dans les travaux [2], [3] et [4] de Birman et Solomyak). Nous établissons un résultat plus général: si f est une fonction lipschitzienne, E1 et E2 des mesures spectrales et T un opérateur de la classe S1, alors ∫∫ f(x)− f(y) x− y dE1(x)T dE2(y) ∈ SΩ. Nous pouvons améliorer les résultats ci-dessus dans le cas rankT = 1. En réalité, dans ces cas ∫∫ f(x)− f(y) x− y dE1(x)T dE2(y) ∈ S1,∞ def = { T : ‖T‖S1,∞ def = sup j≥0 sj(T )(1 + j) <∞ } . Ce fait implique que si A et B sont des opérateurs autoadjoints tels que rank(A − B) = 1, alors f(A)− f(B) ∈ S1,∞. 1 En utilisant des arguments de dualité on peut montrer que si T appartient à l’idéal de Matsaev Sω, c’est-à-dire